时间和费用不确定的网络计划资源均衡优化
工程项目管理026崔
一、研究的基本思路
本文研究是基于网络计划活动的时间、费用是随机分布，且活动持续时间上费用分配（时间—费用模型）非均匀分布的工期固定—单资源（投资资金）均衡优化问题。为了讨论方便，本文结合一个具体的网络计划来说明研究的基本思路。网络计划图及网络计划参数表如下：
图1网络计划图
费用的最可能估计值为5万元，最悲观的估计值为5_1.35＝6.75万元，最乐观估计值为5_0.85＝4.25万元。同理，活动的周期三角概率分布一样获得。
（一）运用Monte-Carol仿真方法，对网络计划进行费用、周期仿真建模和仿真实验，获得一定数量的仿真样本数据（例如，仿真运行次数n＝100次）。对仿真输出数据进行统计分析，可以获得网络计划各活动的费用、周期以及总费用和总周期的均值、方差等统计量。
（二）在n次仿真输出中，寻找与网络计划总费用和总周期均值最接近的一次仿真输出结果（假定为第m次仿真输出结果），作为该网络计划各个活动费用与周期的代表性样本。
（三）以第m次仿真输出的各个活动的费用和周期数据构造一个确定性网络计划，在整个周期内迭加得到一个多峰的Weibill分布函数。
（四）本文采用启发式的“削峰填谷法”进行均衡优化，得到一个相对较为均衡的投资强度分布。
二、网络计划仿真模型
本文在VC++6.0环境中编写程序，并进行仿真运行。主要参数有T，Dij，ESij，LFij，Cij等，仿真运行n=100次，获得100组网络计划各活动的Dij、ESij、LFij、Cij、总费用C，计算总工期T和总费用C的样本均值和样本标准差得：
Tk=19.796（月）nk1
Ck48.082（万元）nk1
k1nk)2/(n1)1.4606（月）
k1nk)2/(n1)2.5990（万元）
将100次仿真获得的总周期Tk、总费用Ck以及总周期均值、总费用均值绘制在一张散点图上，可以直观地看到样本点集中分布在均值点周围。散点图如下所示：
图2仿真结果散点图
根据同分布大数定律，当n足够大时，均值具有稳定性。我们以欧氏距离作为衡量标准，在100次仿真输出结果中寻找与均值点距离最短的一组样本值作为样本代表值。根据公式R=(Tk2Ck2)()，经过试算可知带入第94次仿真结果：T94=19.762（月）、C94=47.978（万元），能够得到Rmin=0.00276。其中第94次仿真结果输出如下：
经过整理计算可得第94次仿真输出的活动参数表如下所示：（其中活动的松弛时间Sij=LSij-ESij）
表2第94次仿真输出的活动参数表
三、Weibull时间—费用分布模型
单峰的威时间—费用模型的一般形式为：
C(t)Kma(tr)m1ea(tr)（1）
其中K为活动的总投资；r为位置参数，表示活动的起始时间；a为急迫性参数，决定了曲线的陡度；m为形状参数，决定了威分布峰值的位置。
参数表2代表的确定性网络图中，假如每一活动持续时间上的费用服从威分布，活动的费用即为该活动的总投资K，以活动的最早开始时间ESij表示位
置参数r。一般首先估计出最高投资强度的时点t，进而采用经验估计法估计参hm
数m和a，例如：
估计①→②工作的峰值在t=2（月），则根据公式h
1emats0.995（2）
ma(m1)/(mth)（3）
可计算出m=2.53，a=0.1047（其中ts=ES12），带入公式（1），
故C1=1.7671t1.53e0.1047t2.53
由此用描点法可得到工作①→②的单峰Weibull时间—费用分布如下：
图3：工作①→②的单峰Weibull时间—费用分布
同理可得到各活动的单峰Weibull时间—费用分布。由于各活动的最早开始时间ESij不同，活动周期Dij不同，由此整个网络计划进度内所有活动的Weibull分布的叠加得到一个多峰的Weibull时间—费用分布，如图4所示：
图4Weibull时间—费用分布叠加图
四、基于启发式“削峰填谷法”的多峰Weibull分布均衡优化
本文采用的是启发式中的“削峰填谷”算法。削峰填谷算法着眼于进度计划的资源需求量动态变化曲线的资源强度最大值时段，通过调整资源最大强度内部分活动的实际开工时间，达到逐步降低最大资源强度值，从而减少资源动态曲线波动幅度的目的。
在调整过程中，随着时间—费用分布（投资强度分布）最大强度值的降低，资源动态曲线的资源分布不均衡程度指标（如方差σ^2）逐渐减少。设Ct为第t年费用，C为在整个投资期T内的年平均费用，则221122C)C(ccttTT
因为C2和T均为定值，所以均衡优化的目标函数可以定义为：
minF=ct（4）
均衡优化步骤如下：①将最早开始时间作为各活动的初始开工时间；②找出出现的最大费用值Cma_及其时段；按Cma_的某个百分比确定本次调整的最大目标强度S；③对于资源强度大于所定的目标强度S的时段，找出需要该项资源的所有非关键活动，对每个活动在松弛时间范围内进行搜索，找出本次调整得到的最优活动开工时间集合。计算均衡优化指标ct，并与本次调整前的进行
比较，这样一次调整结束。重复上述调整过程直至终止条件满足为止。
本文应用削峰填谷算法，对图4所示的时间—费用分布曲线（投资强度分布曲线）进行了均衡优化，图5反映了均衡优化过程中网络计划活动时间的甘特图的变化，图6是均衡优化过程中时间—费用分布曲线的变化过程及其最终的优化结果。本网络计划共有7个活动，其中非关键路径上有4个活动，实际优化过程中调整了2个非关键活动的实际开工时间。
第二次优化
调整活动③→⑤
图5均衡优化过程中网络计划活动时间的甘特图的变化示意图
图6均衡优化过程中时间—费用分布变化
五、结论
本文提出了基于网络计划活动的时间、费用是随机分布，且活动持续时间上费用分配（时间—费用模型）非均匀分布的工期固定—单资源（投资资金）均衡优化问题。考虑时间与费用的不确定性，并进行了Monte-Carlo仿真，引入一个多峰的Weibill时间—费用模型，并应用削峰填谷算法，对本文所涉及的的时间—费用分布曲线（投资强度分布曲线）进行了均衡优化，取得了较好的结果。6
